《대학에서는 사회주의강국건설에서 나서는 리론실천적, 과학기술적문제들을 원만히 해결하며 기초과학부문을 발전시키고 첨단과학기술분야를 개척하는데 중심을 두고 과학연구사업을 진행하여야 합니다.》
우리는 현대과학기술분야의 하나인 리산기하에서 두가지 릉길이로 외평면그라프의 그리기에 대한 연구를 진행하였다.
그라프의 퇴화거리수는 평면에 그라프의 선형매장에서 릉들의 길이의 최소수이다. 외평면그라프의 퇴화거리수가 평등유계인가 하는 문제는 Carmi와 다른 사람들에 의해 제기되였다. Alon, Feldheim은 이 문제를 긍정적으로 해결하였는데 그들은 거의 모든 3개의 릉길이를 외평면그라프의 퇴화그리기를 구성하기 위하여 리용할수 있다는것을 보여주었다. Alon, Feldheim은 이 퇴화거리수가 실지로 2로 유계인가 하는 질문을 제기하였다. 우리는 이것을 증명하였으며 거의 모든 두개의 릉길이는 외평면그라프의 퇴화그리기를 구성하기 위하여 리용할수 있다는것을 보여주었다
평면매장은 릉들이 서로 사귀지 않게 하면서 넘기는 그라프의 평면넘기기이다. 외평면그라프는 정점들이 모두 무한면의 경계에 놓이는 평면매장을 가지는 그라프이다.
선형매장은 그라프를 평면으로 넘기는 그라프넘기기이다. 이때 그라프의 정점들은 평면의 점으로 넘어간다. 매 릉은 릉에 접하는 두 정점들의 영상을 맺는 선분으로 넘어간다. 구간의 길이를 이 매장에서 이 릉의 길이라고 부른다.
그라프G의 퇴화된 그리기는 모든 정점들의 영상이 겹치지 않는 선형매장이다. 그라프의 그리기는 모든 정점들의 영상이G의 매 릉의 영상에 놓이지 않는 퇴화그리기이다.
그라프G의 거리수는G의 그리기에서 릉길이들의 최소가지수이다. 그라프의 퇴화거리수는 G 의 퇴화된 그리기에서 릉길이들의 최소가지수이다.
Alon, Feldheim은 외평면그라프의 퇴화거리수의 웃한계가 3이라는것을 인상적인 방법으로 증명하였으며 퇴화거리수가 2보다 크지 않는가 하는 문제를 제기하였다. 사실 외평면그라프의 퇴화거리수는 1보다 크다는것을 쉽게 보여줄수 있다. 이로부터 2가지 릉길이로 퇴화그리기를 보여주면 외평면그라프의 퇴화거리수는 바로 2로 되는것이다.
우리는 Alon, Feldheim과 류사한 방법으로 이것을 하였다.
기본결과는 다음과 같다.
정리. 2 a≥b, 2b≥a를 만족하는 거의 모든 실수 a,b에 대하여 매 외평면그라프는 릉길이 a,b로 퇴화그리기를 가진다.
이상의 연구결과는 2021년 Elsevier 출판사의 SCI잡지《Discrete Applied Mathematics》에 《Degenerate drawing of outerplanar graphs with two edge Lengths》 (https://doi.org/10.1016/j.dam.2021.07.014)라는 제목으로 출판되였다.
앞으로 외평면그라프의 거리수에 대한 보다 가까운 웃한계를 얻기 위하여 류사한 방법을 리용하려고 한다.
