비등질비선형슈뢰딩게르방정식의 꼬쉬문제의 련속의존성

경애하는 김정은동지께서는 다음과 같이 말씀하시였다.

《과학기술력은 국가의 가장 중요한 전략적자원이며 사회발전의 강력한 추동력입니다.》

우리는 비등질비선형슈뢰딩게르방정식의 꼬쉬문제

를 연구하였다. 여기서 u0∈H^s(Rⁿ)이고 0<b<2, σ>0이다.

비등질비선형슈뢰딩게르방정식은 비선형광학을 비롯한 물리학의 여러 분야에서 출현하는것으로 하여 이 방정식의 타당성(풀이의 존재성, 풀이의 유일성, 련속의존성)과 산란성, 폭발성을 비롯한 풀이의 성질들에 대한 연구는 광범히 진행되여왔다.

우리는 이미 론문 《Nonlinear Analysis: Real World Applications 59 (2021) 103268》 (https://doi.org/10.1016/j.nonrwa.2020.103268)에서 0≦s<min{n, n/2+1}일 때 분수계쏘볼레브공간 H^s(Rⁿ)에서 비등질비선형슈뢰딩게르방정식의 꼬쉬문제의 국부적타당성을 증명하였다. 여기서 풀이의 존재성은 슈트리카르츠평가에 기초한 축소넘기기원리를 리용하여 증명하였다. 고전적인 비선형슈뢰딩게르방정식의 연구에서처럼 우의 풀이가 초기자료에 련속적으로 의존하는가 하는 질문이 자연스럽게 제기된다. 국부적존재성이 부동점론의를 리용하여 증명하는것으로 하여 우리는 풀이의 초기조건에 관한 련속의존성이 국부맆쉬츠일것이라고 추측할수 있다. 그러나 바나흐부동점정리를 적용하는 공간은 s계쏘볼레브공간인 반면에 거리는 르베그노름을 리용한다. 따라서 련속의존성은 르베그노름에 관해서만 국부맆쉬츠이며 풀이가 표준적인 의미에서 초기자료에 련속적으로 의존하는가 하는 의문이 생긴다. 한편 고전적인 비선형슈뢰딩게르방정식의 꼬쉬문제의 련속의존성은 여러 론문에서 연구되였지만 거기서는 모두 베쏘브공간리론이 기본적으로 리용되였다. 그러나 비등질비선형슈뢰딩게르방정식의 연구에서는 비등질비선형항이 있는것으로 하여 베쏘브공간리론을 적용하는것이 어려운것으로 알려져있다.

이런 론의로부터 우리는 쏘볼레브공간에서 표준적인 의미에서 비등질비선형슈뢰딩게르방정식의 꼬쉬문제의 련속의존성을 연구하였다. 이를 위해 분수계쏘볼레브공간에서 여러가지 복잡한 비선형평가들을 진행하였다. 이 평가들은 고계비선형슈뢰딩게르방정식을 비롯한 류사한 방정식들의 꼬쉬문제의 련속의존성을 증명하는데 리용될수 있다.

우리의 연구결과는 잡지 《Discrete and Continuous Dynamical Systems-Series B》(27(8) (2022) 4143-4172)에 《Continuous dependence of the Cauchy problem for the inhomogeneous nonlinear Schrödinger equation H^s(Rⁿ)》(https://doi.org/10.3934/dcdsb.2021221)의 제목으로 출판되였다.