유한체우에서 몇가지 유리변환을 리용한 k-불변다항식의 귀납적구성

경애하는 김정은동지께서는 다음과 같이 말씀하시였다.

《수학, 물리학, 화학, 생물학과 같은 기초과학부문에서 과학기술발전의 원리적, 방법론적기초를 다져나가면서 세계적인 연구성과들을 내놓아야 합니다.》

우리는 현대대수학의 중요한 연구대상이며 정보과학기술분야에 널리 응용되는 유한체리론에서 유리변환들을 리용하여 k-불변다항식들을 귀납적으로 구성하는 방법에 대하여 연구하였다.

유한체우의 다항식리론은 수학의 여러 분야에서뿐아니라 암호학과 부호리론을 비롯한 정보과학기술분야에서 널리 리용되고있으며 특히 불변다항식을 비롯한 특수한 기약다항식들과 치환다항식은 정보통신의 암호화, 부호화기술에서 중요한 역할을 하는것으로 하여 이에 대한 연구가 활발히 진행되고있다. 특히 유한체연산을 고속화하는데 적합한 불변원소와 불변다항식의 개념이 최근 k-불변원소, k-불변다항식에로 일반화되고 이에 대한 연구문제들이 제기되면서 새로운 k-불변다항식들을 구성하기 위한 연구가 진행되고있다.

선행연구에서는 유한체에서 불변원소와 불변다항식의 개념을 일반화하여 k-불변원소 및 k-불변다항식을 정의하고 이와 관련한 몇가지 연구문제들을 제시하였으며 k-불변다항식들의 무한렬을 얻기 위하여 자기상반변환 x → x+δ²x^-1과 변환 x → (x^p-x)/(x^p-x+δ)를 비롯한 유리변환들을 리용하였다. k-불변다항식렬을 얻은 선행론문에서는 유한체에서 원소의 k-불변성을 특징짓는 한가지 보조적인 결과를 리용하였지만 이 결과의 증명에 오유가 있었다.

우리는 먼저 선행연구자들의 이 보조정리증명에서 나타난 오유를 발견하고 그것을 일정한 제한밑에서 새롭게 다시 증명하였다. 그 다음 유한체에우에서 k-불변다항식들의 무한렬을 귀납적으로 얻을수 있는 여러가지 형태의 유리변환들을 주목하여

x → (x^p-x^p-1+1)/(-x^p-1+1), x → (x²+ax+b²)/(x²+b²), x → (x²+ax+b²)/(cx)

모양의 유리변환들을 리용한 k-불변다항식들의 구성법들을 밝히였다.

우리의 연구결과는 World Scientific 출판사의 SCI잡지 《Journal of Algebra and Its Applications》(19(2020))에 《Recursive constructions of k-normal polynomials using some rational transformations over finite fields》 (https://doi.org/10.1142/S0219498820502102) 의 제목으로 출판되였다.