반환에서 덜기합동관계와 자리스끼위상

 2022.5.30.

경애하는 김정은동지께서는 다음과 같이 말씀하시였다.

《수학, 물리학, 화학, 생물학과 같은 기초과학부문에서 과학기술발전의 원리적, 방법론적기초를 다져나가면서 세계적인 연구성과들을 내놓아야 합니다.》

김일성종합대학 수학부에서는 수학과 정보과학에서 널리 응용되고있는 가환반환에 대하여 그의 덜기씨스펙트르 즉 덜기씨이데알들전부의 모임에 자리스끼위상이 도입되여 얻어지는 위상공간의 성질들을 해명하였다.

가환환의 덜기씨스펙트르는 씨스펙트르와 일치하며 가환대수학과 대수적기하학, 속론연구에서 중요한 역할을 한다.

반환은 환과 분배속을 일반화한 대수계로서 분배법칙에 의해 련결되는 더하기와 곱하기라는 두 산법을 가지고있지만 환이 아닌 반환에서는 덜기산법이 정의되지 않으므로 환의 이데알리론에서 덜기산법이 필수적으로 리용되고있는 증명수법들은 반환의 이데알리론연구에 적용될수 없다. 이로부터 1958년에 반환의 한가지 특수한 이데알인 덜기이데알이 정의되였다.

선행연구들에서는 가환반환의 씨이데알들전부의 모임에 자리스끼위상이 도입되여 얻어지는 위상공간인 씨스펙트르에 대하여 1999년에 그것이 콤팍트공간으로 된다는것이 증명되였고 2009년에 그것이 스펙트르공간으로 된다는것이 증명되였다. 가환반환의 덜기씨스펙트르는 씨스펙트르의 부분공간이다.

우리는 가환반환에 대하여 먼저 덜기씨스펙트르가 스펙트르공간으로 된다는것을 증명하였으며 다음 덜기씨합동관계들전부의 모임에 자리스끼위상을 도입하고 얻어진 위상공간이 덜기씨스펙트르와 위상동형이며 따라서 그것도 스펙트르공간으로 된다는것을 증명하였다.

우리의 연구결과는 국제학술잡지 《Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics》(2021,vol. 50, 699-709)에 《k-Congruences and the Zariski topology in semirings》 (https://doi.org/10.15672/hujms.614688) 의 제목으로 발표되였다.