비등질비선형슈뢰딩게르방정식에 대한 연구

 2021.10.25.

경애하는 김정은동지께서는 다음과 같이 말씀하시였다.

《우주를 정복한 위성과학자들처럼 최첨단돌파전을 힘있게 벌려 나라의 전반적과학기술을 하루빨리 세계적수준에 올려세워야 합니다.》

우리는 최근시기 활발히 연구되고있는 비등질비선형슈뢰딩게르방정식의 초기값문제

에 대하여 연구하였다.

비등질비선형슈뢰딩게르방정식은 비선형광학을 비롯한 물리학의 여러분야에서 광범히 응용되고있는것으로 하여 이 방정식의 타당성(풀이의 존재성, 유일성, 련속의존성)과 산란, 폭발을 비롯한 풀이의 성질들에 대한 연구가 활발히 진행되고있다.

선행연구들에서는 대부분 에네르기공간 H1에서 풀이의 국부적 및 대역적타당성과 산란, 폭발을 연구하였다. 주되는 원인은 이 론문들에서 모두 에네르기방법을 리용하였기때문이다. 일반적으로 비선형슈뢰딩게르방정식을 비롯한 비선형분산방정식의 국부적 및 대역적타당성을 증명하는데는 크게 두가지 방법이 있다. 하나는 에네르기방법이고 다른 하나는 카토방법이다. 그러나 에네르기방법은 에네르기보존법칙과 GN부등식을 리용하는것으로 하여 에네르기공간 H1에서의 타당성밖에 연구하지 못하는 약점을 가지고있으며 일반적인 쏘볼레브공간 Hs에서의 타당성을 증명하자면 카토방법 즉 슈트리카르츠평가에 기초한 축소넘기기원리를 리용하여야 한다. 또한 카토방법으로는 풀이의 유일존재성뿐아니라 풀이가 슈트리카르츠공간에 속한다는 중요한 결과를 얻을수 있으며 이것은 풀이의 산란과 폭발을 비롯한 풀이의 성질들을 연구하는데서 중요한 역할을 한다.

우리는 비선형분산방정식연구에서 위력한 수법인 슈트리카르츠평가에 기초한 축소넘기기원리를 리용하여 각이한 비선형평가들을 진행한데 기초하여 쏘볼레브공간 Hs에서 비등질비선형슈뢰딩게르방정식의 국부적타당성을 증명하였다.

우리의 연구결과는 ELSEVIER출판사의 잡지 《Nonlinear Analysis: Real World Application》59 (2021)에 《Local well-posedness for the inhomogeneous nonlinear Schrödinger equation in Hs(Rn)》 (https://doi.org/10.1016/j.nonrwa.2020.103268)의 제목으로 출판되였다.